2014-2015学年第一学期概率统计试卷A(答案) 下载本文

华南农业大学期末考试试卷(A卷)

2014学年第1学期 考试科目: 概率论与数理统计 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业

装题号 得分 评阅人 一 二 三 四 总分 一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

订1. 有100张从1到100号的卡片,从中任取一张,取到卡号是7的倍数的概率为 ( A )

线77715A. B. C. D.

50481001002.设A和B互不相容,且P(A)?0,P(B)?0,则下列结论正确的是( C )

A. P(A|B)?0 B. P(A)?P(A|B) C. P(A|B)?0 D. P(AB)?P(A)P(B)

3.设A和B相互独立,且P(A)?0,P(B)?0,则一定有P(A?B)?( A ) A. 1?P(A)P(B) B. 1?P(A)P(B) C. P(A)?P(B) D. 1?P(AB)

(x?2)21?18e4.设随机变量X的概率密度为f(x)?,若P(X?C)?P(X?C),则8?C的值为 ( D )

A. 0 B. -2 C. ?2 D. 2

5.下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为: ( D )

?1?cosx,x?[0,?]?, A. f(x)?? B. f(x)??2其他?0,??0,2x?2其他

(x??)?1?2??e?x,x?0e2?,x?0 C. f(x)???2? D. f(x)??

0,x?0??0,x?0?6. 设X1、X2是随机变量,其数学期望、方差都存在,C是常数,下列命题中

(1)E(CX1+b)=CE(X1)+b; (2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) (3)D(C X1+b)=C2D(X1)+b (4)D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)

1

正确的有 ( C ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

5427. 样本(X1,X2,?,X9)取自总体X?N(0,1),则统计量?Xi4i?1?Xj?492j服从以下

分布 ( D ) A. F(4,9) B. F(4,5) C. F(4,4) D. 以上都不是. 8. 设总体X?N(?,?2),X1,X2,?,Xn(n?3)是来自总体X的简单随机样本,则下列估计量中,不是总体参数? 的无偏估计的是 ( B )

A. X B. X1?X2???Xn C. 0.1?(4X1?6X2) D. X1?X2?X3

9. 简单随机样本(X1,X2)来自总体??N(?,?2),下列?的无偏估计量中, 最有效的估计量是 ( D )

3423X1?X2 B. X1?X2 77552111 C. X1?X2 D . X1?X2

332210. 设总体X?N(?,?2) 且?和?2均未知。若样本容量和样本观测值不变,则下面关于总体均值?的置信区间长度L与置信度1??的关系的说法中正确的是。 ( B )

A. 当1??减小时,L增大 B. 当1??减小时,L减小 C. 当1??减小时,L不变 D. 以上三个都不对

A.

二、填空题(本大题共7小题,每空2分,共20分)

1. 一个例子中有3个白球,2个黑球,从中不放回地每次任取一球,连取三次,则第一、第二次、第三次都取得白球的概率为 0.1 .

2. 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,则P(A?B)= 0.7 .

?1?e?x,x?03. 设随机变量X的分布函数为F(x)?? ,则P(X?2)= e?2 ,x?0?0,?e?x,x?0 . X的密度函数为 f(x)???0,x?04. 若随机变量??U(1,6),则方程X2??X?1?0有实根的概率为 4/5或0.8 . 5. 设X~N(0,1),Y~N(8,4),X的分布函数为?(x)?P{X?x},则用?(x)表示概率P{4?Y?12}?______2?(2)?1或__?(2)??(?2)_________.

2

装1.5CM 订线 1.5CM

6. 设随机变量X,Y相互独立,其中X服从参数为2泊松分布,Y服从参数为

12的指数分布,则E(X?Y)=______4_______,D(2X?Y)=_____12_________. 7.设总体X?N(?,100),若要保证?的置信区间长度小于等于5,当置信度为0.9时,样本容量n最小应为 44 ,而当置信度为0.95时,样本容量n最小

应为 62 .(提示:u0.05?1.645,u0.025?1.96) 三、概率论解答题(本大题共3小题,共36分)

1.(10分)某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”。统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.1和0.3。如果被保险人中“谨慎型”占20%,“一般型”占50%,“冒失型”占30%,现在知某人一年内出了事故,则他是“谨慎型”客户的概率是多少? 解:设A1,A2,A3 分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”,B 表示被保险人在一年内出了事故。 (1分)

依题意,有 P(A1)?0.2P,A2(?)0.P53A,?(,) 0.3 P(B|1A)?0.05P,B(1A?|)0.P1B,1?A(,| ) 0. 3 (2分) 所以,由贝叶斯公式可得 (1分)

P(A(A1B)P(A1)P(B1|B)?PP(B)?|A1)P(A|AB|A (4分) 1)P(B1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(3) ?0.2?0.050.2?0.0?50?.5?0.1?0?.30?10..30616 57 (2分)

2. (10分)一袋中装有4个球,球上分别标有号码1,2,3,4. 现从中任取

2球,X为取出球中最小号码,求X的概率分布律和E(2X?1)

解:根据题意,X可能的取值有1,2,3, (1分)

11取值的概率分别为P(X?1)?C31C2111C2?,P(X?2)?2?,P(X?3)?42C43C2?6

4故X的概率分布律为 (6分)

X 1 2 3 p 12 13 16

E(2X?1?)(?2?1?112)??(?2?213?1)??(?216?3113?3) (43.分)

33 3.(16分)设随机变量X的密度函数为f(x)???cx2,x?(0,1),?0,x?(0,1).

3

求:(1)常数c;(2)求X的分布函数F(x); (3)求X的期望E(X)和方差D(X);(4)求Y?1?X的密度函数。 解:(1)由???1f(x)dx??cx2dx?c?1 知c?3; (2分) ??03 (2)当x?0 时,F(x)??xx??f(x)dx????0dx?0;

当0?x?1 时,F(x)??x??f(x)dx??x3x2dx?x30;

当x?1 时,F(x)??xf(x)dx??1??03x2dx?1;

?x?0, 所以F(x)??0,?x3,0?x?1. ??1,x?1.(3)E(X)????xf(x)dx??1x?3x2dx?3??04?0.75 E(X2)??????x2f(x)?dx?12230?x3x?5d?x0 . 6 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?380?0.375 (4)解法一:因为Y?1?X是严格单调的函数,所以

当0?y?1时,即,0?x?1时,fY(y)?fX(1?y)(1?y)??3(1?y)2 当Y为其他值时, fY(y)?fX(1?y)(1?y)??0 所以,Y?1?X的密度函数为:

f?3(1?y)2,0?y?1Y(y)???0,其他 解法二:

Y?1?X的分布函数FY(y) 为

FY(y)?P(Y?y)?P(1?X?y)?P(X?1?y)

?1?P(X?1?y)?1?FX(1?y),

fdF(y)d?0?y?1Y(y)?Ydy?dy[1?FX(1?y)]?fX(1?y)???3(1?y)2??0其它

4

(4分)

(2分)

(2分) (2分) (4分)

4分)

四、数理统计解答题(本大题共2小题,共24分)

x?1???e,x?0 1. (12分)设总体X的概率密度f(x)???,其中??0是未

?0,x?0?知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用

装订线 矩估计法和极大似然估计法求?的估计量。

解:矩法估计 因为 ??E(X)????1?x0xe?dx??????x??0xde??xe?x???0????e?x?0dx ???e?x???0??

或因为X?E??1?????,所以??E(X)?? 由矩法估计???X ,所以???X。 极大似然估计

似然函数为

n?x2??xn?n?xi?nL()??1e?xin?x1???1?????1i?1??????e?1??i??????e 对其求对数得:

nxilnL(?)?nln???1????x1?x2??xn???nln??i?1

?????

求导,并令其为0

ndlnL?(xi?)?n?1?i?1 d???2?0 解得 ???1nn?xi?x ,?的极大似然估计量为???X. i?1

5

4分)

(2分) 2分)

2分)

(2分)

( ( (