普通高级中学数学科课程纲要补充说明 - 图文  下载本文

普通高級中學數學科課程綱要補充說明

普通高級中學數學科課程綱要修訂專案小組

97年7月23日

第一章 修訂緣起

為落實93年4月「全國高中教育發展會議」發展更理想課程之共識,銜接九年一貫數學課程,揭櫫數學為基礎學科的重要性,反應社會變遷及國際趨勢而釐清高中數學核心內容,橫向呼應高中各學科與數學的連結,以及提出導正高中數學學習文化的理想,乃修訂此課程綱要。

第二章 修訂歷程

普通高級中學數學科課程綱要的修訂,分成『前置研究階段』與『修訂階段』。前置研究歷時一年半,包括

(1) 94年1月至6月進行的「中小學數學科課程綱要評估與發展研究」,以12年一貫的精神,檢視當時的九年一貫數學課程與95高中數學暫行綱要的「一貫性」、「銜接性」與「妥適性」,並與國際現況比較,包括美國加州、新加坡、英國、日本、韓國、中國等國家或地區。此研究之簡要報告置於附錄A。 (2) 94年12月至95年4月,擬定「12、15、18歲數學科能力指標」。 (3) 95年8月及9月,建置「中小學一貫課程體系」,進行跨學科之檢視,釐出數學與其他學科之關聯,並整理各學科學習上需要數學的課題與需求該課題知識的時間。。

在此期間,數學學科中心完成網站建置,教師同仁與社會大眾皆可自由提出對於中等學校數學教育的意見和看法。

數學科在95年春即組成數學課程綱要修訂專案小組,於95年4月1日開始修訂階段的工作。上述四種文件:回饋意見、數學科能力指標、中小學數學科課程綱要評估與發展研究及跨學科關聯性報告,是本次課綱修訂的主要參考文件,其研發過程中皆經過廣泛之意見徵詢;其他參考資料則包括美國、新加坡、中國、英國等他國之高中教科書。相關資料可至數學學科中心網站查閱,網址如下:

http://www.mathcenter.ck.tp.edu.tw

數學課綱修訂專案小組成員包括數學子領域代表(分析、代數、幾何、機率、統計、離散數學)、九年一貫數學領域課綱代表、師範大學代表、教育心理或數學教育代表以及高中教師代表(包括學科中心、普通高中、完全中學、數學科輔導團、全國教師會等),力求涵蓋周全與均衡。專案小組舉行了17次研究與討論

會議之後,於96年6月提出草案初稿,並開始公民參與程序,與學科中心共同舉辦焦點座談與公聽會。其中有五場焦點座談,對象為三所師範大學推薦代表、教科書編者、教科書審查委員、大考中心代表與教師代表,以及意見團體代表(包括教師會、家長會、學生會等);三場公聽會(北、中、南區各一場)。為落實公民參與,所有蒐集到的意見,都帶回專案小組,再召集會議,審慎討論之後才提交課程綱要之修訂草案。該草案經專家審查並修訂之後,由教育部公布實施。

第三章 設計精神與理念之再說明

數學家大多接受過嚴格的純數學訓練:包括一套由集合與運算規則所建構的代數體系,由連續性公理所建構的分析理論,以及由平行公理所建構而成的歐氏幾何。它們都是由最簡潔的「公理」出發,經過嚴謹的證明程序,建構出牢不可破的數學體系。這套思維模式與建構歷程有它在理論科學發展的重大意義,然而將它施行在數學教育上,特別是對初學者,在缺乏動機與應用的引導下,容易衍生成形式主義;六零年代美國新數學教育改革的失敗正是這樣慘痛的教訓。直到今日,由於大多數教師都經過嚴格的純數學訓練,形式主義的典型現象,或多或少仍發生在我們的教學場域中。以下提出五項建言,提供教育工作同仁參考。 1. 數學的學習若能切合現實世界,給予學習的動機與應用的導引,學生才不會不知為何要學。

2. 精簡的公理與嚴謹的推理,若能與學習者的既有經驗相結合,則比較容易被接受,也能內化為有用工具。

3. 數學課程要讓學生看到抽象化的必要性,避免經由嚴謹程序而推得直觀上顯然的「公認事實」。高中數學教育的內容,應能區別輕重並掌握主要脈絡,不宜在過於細節的問題上,投入過多的心力。

4. 數學是研究各種規律性所發展出的語言,數學思維的模式兼具歸納與演繹。中學課程應較為平衡地呈現歸納與演繹兩種思維模式,而不止著重於演繹而忽略了歸納的思維。

5. 函數、極限與微積分經常可以透過實例、圖形以及比較大小等具體觀察,而直觀地判斷出哪些部分是重要的特徵或元素。對於初學者,應重視此類直觀概念的發展。

本課綱的一個基本理念是要避免形式化的數學學習,要將學生所學的數學與現實世界連結。因此以生活上需要或是其他學科需要的數學內容,形成高中數學的核心內容。從這個基本理念出發,省思前述五項避免形式化教學的看法,本課綱依據以下五項精神而設計。

(一)掌握主要脈絡,建構清晰的數學概念。 (二)展現以簡馭繁的數學思考方法。

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(三)在演繹之外,加強歸納思維的訓練,並認識數學模型的意義。 (四)以圖形與實例,循序漸進,建構抽象思維的內涵。 (五)強調數學的應用,击顯數學的普遍性與本質性。 我們逐項說明如下。 (一)掌握主要脈絡,建構清晰的數學概念 每一冊訂有一主題,分別是數學I:函數;數學II:有限數學;數學III:平面坐標與向量;數學IV:線性代數。各主題之脈絡如次頁之圖一、圖二與圖三所示。 (二)展現以簡馭繁的數學思考方法 ? 伸縮與平移:二次函數的標準化(配方法)、指對數的換底(換為以10為底)、二次曲線的標準化(平移+二元配方法)、數據的標準化 ? 對稱性:將三角函數的求值問題,轉化為銳角三角形的邊角關係問題 ? 對數函數:化乘除為加減,化次方為乘除 ? 內積與外積:將角度與面積問題化為可操作的代數式 ? 將排列組合問題都對應到球與籃子的標準模型 (三)在演繹之外,加強歸納思維的訓練,並認識數學模型的意義 許多重要的公式都先有鋪陳再歸納出一般式,如: ? 在乘法公式中與多項式章節中,先鋪陳xn?an (n?2,3,4) 的分解,到等比級數時再歸納出一般的公式 ? 在乘法公式中先鋪陳 ?a?b?(n?2,3,4) 的展開式,到二項式定理再歸納出n一般展開式 ? 發現數列的規律性也強調學生需能夠從數列或樣式中歸納出遞迴關係 ? 為了計算兩向量的夾角,透過餘弦定理歸納出內積的自然定義 ? 為了計算兩向量所張成之平行四邊形面積,透過正弦定理歸納出行列式的自然定義 (四)以圖形與實例,循序漸進,建構抽象思維的內涵 本課綱的設計,是提供了充分多的實例後,才給抽象的定義。如 ? 在數與式中,先經過數字操作再轉化為文字與數學式的操作;其他章節如多項式、指對數、三角、坐標幾何中亦皆如此。 ? 邏輯與集合的操作:在數學I的一次不等式中,有如「求滿足x?1?2且x?2?3的x的範圍」的問題,自然引進邏輯中「且」的概念,而區間是集合的概念,但不特別強調集合的抽象概念。又如數學I中的多項不等式,有如「求滿足?x?1??x?2??x?3??0的x的範圍」,這是用到「或」的概念。先有這些實例,再於數學II的排列組合中才正式引進邏輯與集合的操作。這個集合的抽象定義與操作是為了要處理一般的應用問題。 ? 先有點坐標、平行及位置向量概念,再引進抽象的向量概念。 ? 函數:先複習國中的一次函數和二次函數,然後介紹多項式與指對數函數;

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這些函數都是直覺地認識。到選修數學中才正式引進抽象的函數定義。 ? 函數圖形的鋪陳,是經過了特徵的「辨識」及「判定」兩個歷程。函數的特

徵如

? 對稱點、奇偶性 ? 直線的斜率與截距

? 二次函數的頂點、凹击性

? 已分解多項式函數的特徵,包括零根位置、重根、函數值正負的區間

圖一?函數的學習脈絡 整數系 有理數系 實數系 數學 I 複數系 多項式 一次函數 二次函數 單項函數 一次方程式及其應用 二次方程式及其應用 數據分析 多項式函數 多項式方程式 多項式不等式 指數與對數的應用 指數 對數 指數函數 對數函數 選修數學 甲乙 I 三角 複數 數列及其極限 三角函數 三角函數的應用 函數的概念 函數的極限 選修數學 甲 II 多項式函數的微積分 微分的應用:多項式函數性質的判定 積分的應用:統整高中幾何與力學

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圖二?有限數學的學習脈絡 數學 II 邏輯 集合 數列與級數 排列、組合 二項式定理 樣本空間與事件 機率的定義與性質 條件機率與貝氏定理 選修數學 甲乙 I 隨機的意義 二項分布 抽樣與統計推論 圖三?平面坐標與向量及線性代數的學習脈絡 5