2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题 Word版  下载本文

【答案】5

713. 直线kx?y?2k?1?0与直线x?ky?3k?2?0相交于点M,则OM长度的最小值为 ▲ . 【答案】22?1

14. 定义:点M?x0,y0?到直线l:ax?by?c?0的有向距离为2ax0?by0?ca?b22,0?,已知点A??2,B?2,0?,直线m过点P?4,0?,若圆x2??y?6??35上存在一点C,使得A,B,C三点到直线m的有向距离之和为0,则直线m斜率的取值范围是 ▲ . 【答案】?-4,0?

?3???二、解答题.

15.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是正方形, PA?平面ABCD,且PA?AD, 点E为线段PD的中点. (1)求证:PB//平面AEC; (2)求证:AE?平面PCD.

(1)证明:连结BD,交AC于点O,连结OE. 因为O是正方形ABCD对角线交点, 所以O为BD中点,

由已知E为线段PD的中点,所以 PB//OE,

又OE?平面ACE,PB?平面ACE,所以PB//平面AEC. (2)证明:因为PA?AD,E为线段PD的中点,所以AE?PD, 因为PA?平面ABCD,所以PA?CD, 在正方形ABCD中,CD?AD,又PAAD?A,

P E A B C D 所以CD?平面PAD,又AE?平面PAD,

所以CD?AE,又PDCD?D,所以AE?平面PCD.

16.如图,A,B是单位圆O上的点,C,D分别是圆O与x轴的两交点,?AOB为正三角形. (1)若A点坐标为

3,4,求cos?BOC的值; ?55?y B A O C x - 6 - 2?(2)若?AOC?x0?x?,四边形CABD的周长为y, 3 试将y表示成x的函数,并求出y的最大值.

??D

解:

(1)cos?BOC?cos?60+x??1?3?3?4?3?43252510.

(2)y?3?AC?BD?3?2sinx??x?xxx2?2sin3?2?3?2sin2?3cos2?sin2

?3?sinx2?3cosx2?3?2sin?x?2?3?

又因为0?x?2?3,所以x2??3???3,2?3?,所以sin?x2??3???32,1???. 所以当x??3时,ymax?5. 17.已知函数f?x??x3?32?k?1?x2?3kx?1,其中k?R.

(1)当k?3时,求函数f?x?在?0,5?上的值域; (2)若函数f?x?在?1,2?上的最小值为3,求实数k的取值范围. 解:(1)当k?3时,f?x??x3?6x2?9x?1,f??x??3x2?12x?9?3?x?1??x?3?,

令f??x??0得x1?1,x2?3,列表:

x 0 ?01,? 1 ?13,? 3 ?3,5? 5 f??x? + 0 ─ 0 + f?x? 1 递增 极大值5 递减 极小值1 递增 21 由上表知,函数f?x?的值域为?1,21?. (2)f??x??3x2?3?k?1?x?3k?3?x?1??x?k?,

① 当k≤1 时,?x??1,,2? f??x?≥0,函数f?x?在区间?1,2?单调递增, 所以f?x??1?35min?f?1?2?k?1??3k?1?3,即k?3(舍).

② 当k≥2 时,?x??1,,2? f??x?≤0,函数f?x?在区间?1,2?单调递减, 所以f?x?min?f?2??8?6?k?1??3k?2?1?3,符合题意. ③ 当1?k?2 时,

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当x??1,k?时,f??x?≤0,f?x?在区间?1,k?单调递减;

2?时,f??x?≥0,f?x?区间在?k,2?单调递增. 当x??k,所以f?x?min?f?k??f?2??3,不符合题意. 综上所述:实数k取值范围为k≥2.

18.某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M,过点M且与OM成30(即北偏西60)的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线(如图所示),在码头O北偏东60方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船(可疑船)停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后,海警巡逻艇从O处即刻出发,按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截,假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速,将在P处恰好截获可疑船. (1)如果O和A相距6海里,求可疑船被截获处的点P的轨迹;

(2)若要确保在领海内捕获可疑船(即P不能在公海上).则O、A之间的最大距离是多少海里?

l

N

18.解:(1)以O为原点,OM为x轴建立如图坐标系,

设可疑船能被截获的点为P(x,y), 由题意得OP=2AP,OA=6 (海里),

∠AOx=90?60?30,点A的坐标(33,3), 则有x2+y2=2(x-33)2+(y-3)2,

化简得(x-43)2+(y-4)2=16,轨迹是以(43,4)为圆心,4为半径的圆. (2)设点A的坐标(3t,t),t>0,可疑船被截获处的点为P(x,y),

由题意得OP=2AP,

43t4t16t2

即有x2+y2=2(x-3t)2+(y-t)2,化简得(x-3)2+(y-3)2=9.

60公海 A M 东O - 8 -

因为M(40,0),l的倾斜角180?30?150, 因此直线方程为l:x+3y-40=0.

203

由题意,点A在领海内,因此3t+3t-40<0.即0<t<3.

43t43t|3+ 3-40|4tP的轨迹与直线没有公共点,则轨迹圆心到分界线距离 >3, 23tt15(3+1)15(3-1)即 |3-5|>3,解之得 t>(不合,舍去)或0<t<. 22又因为OA=2t,因此OA的最大距离为15(3-1) (海里).

2y2x19.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为2,且过点

2ab?1,26?,过椭圆的左顶点A作直线l?x轴,点M为直线l上的动点,点B为椭圆右顶点,直线BM交椭圆C于P. (1)求椭圆C的方程;

M P B x y l (2)求证:AP?OM;

(3)试问OP?OM是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.

A O x2y2218.解:(1)因为C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,

2ab6 所以a2?2c2,则a2?2b2,又椭圆C过点(1,),

2所以

13?2?1. 2a2b 所以a2?4,b2?2,

x2y2?1. 则椭圆C的方程?42 (2)设直线BM的斜率为k,则直线BM的方程为y?k(x?2),设P(x1,y1),

22xy?1中并化简得: 将y?k(x?2)代入椭圆C的方程?42 - 9 -

(2k2?1)x2?4k2x?8k2?4?0,

4k2?2解之得x1?2,x2?2,

2k?1?4k4k2?2?4k所以y1?k(x1?2)?2k2?1,从而P(2k2?1,2k2?1).

令x??2,得y??4k,所以M(?2,?4k),OM?(?2,?4k).

又AP?(4k2?2?4k8k2?4k2k2?1?2,2k2?1)=(2k2?1,2k2?1),

所以AP?OM??16k216k22k2?1?2k2?1?0,

所以AP?OM.

)OP?OM?(4k2?2?4k?8k2?4?16k2(38k2?42k2?1,2k2?1)?(?2,?4k)=2k2?1?2k2?1?4.

所以OP?OM为定值4. 20.(本小题满分16分)

已知常数λ≥0,设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足:a1 = 1,Sn?1?an?1aSn???3n?1an?1(n?N*). n??(1)若λ = 0,求数列{an}的通项公式;

(2)若a1n?1?2an对一切n?N*恒成立,求实数λ的取值范围.

解:(1)?=0时,San?1n?1?aSn?an?1. n所以San?1n?aSn.因为an?0,所以Sn?0. n所以an?1?an.因为a1?1,所以an?1. (2)因为 San?1n?1?aSn????3n?1?an?1,an?0, n所以

Sn?1Sa?n???3n?1. n?1an则

S2?S1???3?1,S3?S2???32?1,Sn?Sn?1a???3n?1?1?n≥2?. 2a1a3a2anan?1 - 10 -

相加,得

Sn?1??3?32n?1a???3??n?1.

n则S?3n?3n???2?n??an?n≥2?. 上式对n?1也成立,

所以S3n?3n????2?n??an?n?N*?. 所以S3n?1?3n?1????2?n?1??an?1?n?N*?. ?1得a???3n??3n?12?n?1??a?3n?3n?1???2?n??an.

即???3n?1?32?n??a3n?3n?1????2?n??an. 因为?≥0,所以??3n?1?32?n?0,??3n?32?n?0. 因为a1n?1?2an对一切n?N*恒成立,

3n?313n?1所以??2?n?2????32?n?对一切n?N*恒成立, 即??2n3n?3对一切n?N*恒成立, 记b?4n?2?3n?n?2n2n3n?3,则bn?bn?1?3n?3?2n?263n?1?3??3n?3??3n?1?3?.当n?1时,bn?bn?1?0; 当n≥2时,bn?bn?1?0.

所以b11?b2?3是一切bn中的最大项.

综上所述,??13.

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